موضوع علم ریاضی

موضوع علم در نگرشی به علم مطرح است که علم را مجموعه‌ای از گزاره‌ها یا مسایل یا نظریه‌ها می‌داند که با وحدتی اعتباری گرد هم آمده‌اند؛ که نگرش عموم فلاسفه اسلامی و اصولیان است. نگرشی دیگر علم را یک فعالیت می‌داند، فعالیتی که عالم با توجه به نقشی که جامعه برای او تعریف کرده است، انجام می‌دهد. برای مثال در این نگرش، ریاضیات کاری است که ریاضیدان انجام می‌دهد. من در اینجا در پی نقد این دیدگاه نیستم و بنا بر دیدگاه معمول میان دانشمندان اسلامی موضوع علم ریاضی را بررسی می‌کنم. ابن سینا درباره موضوع علم ریاضی چنین می‌گوید:

موضوع علوم تعلیمی (علوم ریاضی) یا کم مجرد بالذات از ماده است یا آنچه ذوکم (دارای کمیت) است. مورد بحث در آن احوالی است که بر کمّ بما هو کم عارض می‌شود و در حدود آن نه نوع ماده و نه قوه حرکت اخذ می‌شود.¹

و در توضیحی تکمیلی می‌نویسد:

اما موضوع علم ریاضی یا مقداری مجرد در ذهن از ماده است یا مقداری است که در ذهن همراهی‌اش با ماده اخذ شده است یا عددی مجرد از ماده است یا عددی در ماده؛ و نیز بحث در آن متوجه به اثبات این نیست که آن مقدار مجرد از ماده است یا در ماده یا عددی مجرد یا در ماده است؛ بلکه موضوع بحث آن احوالی است که بر آن پس از وضعش عارض می‌شود.²

بنابر این، همان گونه که صدر المتألهین توضیح می‌دهد، ریاضیات چهار شاخه خواهد داشت: حساب (عدد مجرد از ماده)، هندسه (مقدار مجرد از ماده)، موسیقی (عدد در ماده) و هیئت (مقدار در ماده). امروزه ذوکمّ یا به تعبیر دیگر، مقدار و عدد در ماده در فیزیک یا ریاضی فیزیک مطالعه می‌شود و ریاضیات به شاخه‌هایی منحصر می‌شود که قدما به آنها ریاضیات محضه می‌گفتند.³ ابن سینا در این که ریاضیات محضه علمی مستقل از فلسفه (یا علم اعلی) باشد، اشکالی را مطرح می‌کند:

می‌توان اشکال کرد که امور ریاضی محضه نیز که در حساب و هندسه بررسی می‌شوند، قبل از طبیعت‌اند و به ویژه عدد که اصلاً تعلق به طبیعت ندارد؛ چرا که در غیر طبیعت نیز یافت می‌شود. پس لازم می‌آید که علم حساب و هندسه علم ما قبل الطبیعه⁴ باشند.⁵

ابن سینا برای پاسخ به این اشکال آن را به دو سؤال تجزیه می‌کند و ابتدا در باره هندسه اشکال را چنین پاسخ می‌دهد:

اما هندسه که در آن خطوط و سطوح و اجسام بررسی می‌شوند؛ آشکار است که موضوع آن در قوام مفارق طبیعت نیست. چون اعراض لازمه طبیعت‌اند، اولی به آنند. آنچه که موضوعش مقدار مطلق است، مقدار مطلق در آن به گونه‌ای اخذ می‌شود که مستعد هر گونه نسبتی باشد و این مقدار نه بما هو، بلکه از آن حیث که مقدار و عرض است، مبدأ برای طبیعیات و صورت است. در شرح ما بر منطقیات و طبیعیات فرق میان مقداری که هیولی را به نحو مطلق پذیرنده می‌کند و مقداری که کمّ است و اسم مقدار بر آنها به اشتراک واقع می‌شود. در این صورت، موضوع هندسه در حقیقت مقدار معلومی که مقوم جسم طبیعی باشد، نیست؛ بلکه مقداری است که بر خط و سطح و جسم مقول است و این همان مستعد برای نسب مختلفه است.⁶

صدر المتألهین این پاسخ را بر این مبنا می بیند که به نظر شیخ الرئیس خط و سطح و جسم از حیث وجود به ماده تعلق دارند و تجرد آنها تنها به تجرد وهمی است. هم چنین در هندسه مقدار مطلقی که موضوع آن است؛ لازم است به گونه‌ای اخذ شود که مستعد عروض اشکال و نسب مقداری گوناگون از مثلث و مربع و مکعب و پیوستگی و گسستگی و غیر آنها باشد و نیز این مقدار همان است که از باب کمّ قابل مساوات و لا مساوات و تقسیم‌پذیر و شکل‌پذیر از جهت ماده‌ای است که مستعد برای هر گونه نسبت و شکلی است؛ نه مقداری که به معنای بعد به نحو مطلق است و مقوم هیولی و بالذات مقدم بر آن است. در نقد آن می‌نویسد:

جعل اقسام اولیه مقدار یعنی خط و سطح و جسم با مقدار به یک جعل است و مقدار وجودی غیر از وجود یکی از آنها ندارد؛ همان گونه که جنس با انواع بسیط خود آن گونه است. پس چگونه شیخ مفارقت مقدار مطلق را در قوام از طبیعت را جایز می‌داند؛ ولی مفارقت خطوط و سطوح و اجسام را جایز نمی‌داند؛ در حالی که مقدار قوامی ندارد، جز به یکی از انواع بسیط خود. علاوه بر این، در واقع برای هر یک از این اقسام تحقّقی مفارق از طبیعت، بیرون از این جهان ممکن است چنان چه به زودی آن را برایت روشن می‌کنیم انشاءالله. پس آنچه در باره این اقسام می‌گوید بهتر است در باره مقدار نیز بگوید؛ که هر یک از خط و سطح و جسم که موضوع علوم هندسی قرار داده شده و هندسه‌دانان از احوال آن بحث می‌کنند، همان است که پذیرش نسبت‌های وضعی و اجزا و اقسام و جذر‌گیری و کعب‌گیری و امور دیگری مانند آنها که عروض آن بر چیزی از انواع مقدار جز بعد از تعلق آن به ماده طبیعی ممکن نیست، در شأن آن است.⁷

ابن‌سینا شبهه را درباره عدد، موضوع علم حساب و این که علم حساب بخشی از مابعدالطبیعه باشد، قوی‌تر می‌یابد. اما در حل این شبهه چنین می‌کوشد: علم مابعدالطبیعه علمی است که از هر جهت مفارق از طبیعت است و غایت آن معرفت به خدای تعالی است. اما عدد هم به امور مفارق از ماده تعلق می‌گیرد و هم به امور طبیعی. موضوع علم حساب این مورد دوم است که وهم آن را مجرد از ماده لحاظ می‌کند. صدرالمتألهین از ابن سینا در این رأیش دفاع می‌کند؛ ولی از شیخ اشراق نقل می‌کند که وی از این که حساب جزء علم اعلی باشد، دفاع کرده است و او نظر شیخ اشراق را تضعیف می‌کند.⁸

بر این مبنا به نظر می‌رسد موضوع ریاضی را اگر کمّ، که مفهومی ماهوی است، اخذ کنیم، کفایت کند و وحدت و کثرت را که از مفاهیم فلسفی است، در موضوع ریاضی داخل ندانیم؛ زیرا به هر حال، تعلق این مفاهیم بر امور مادی تفاوتی با تعلق آنها بر امور مفارق از ماده، از آن حیث که موضوع علم حساب بتواند قرار گیرد، ندارد. البته چنین نظری نه بر اهل نظر دلچسب است و نه بر من.

نکته‌ای که در اینجا لازم است یادآور شوم؛ این است که موضوع حساب ماهیت عدد نیست. ابن‌سینا نیز به این نکته متوجه است.

پس حساب نه نظر در ذات عدد است و نه نظر در عوارض عدد از حیث که عدد مطلق است؛ بلکه در عوارض آن است از آن حیث که به نحوی شده که اشاره‌پذیر است و در این حال، آن یا مادی است یا وهمی انسانی است که به ماده مستند است. اما نظر در ذات عدد و در آنچه بر آن، از آن حیث که به ماده تعلق ندارد و به آن مستند نمی‌گردد، عارض می‌شود، داخل در علم اعلی است.

راسل هم به همین نکته چنین توجه می‌کند:

فرق میان فلسفه و ریاضیات از همین مسئله ماهیت عدد آشکار می‌شود. مبدأ هر دو معلومات معینی در باره اعداد است که بدیهی و بالعیان است. اما ریاضیات از این معلومات به عنوان مقدمه برای استنتاج قضایای مرکب و مفصل‌تر استفاده می‌کند؛ در حالی که مطلوب فلسفه این است که به وسیله تحلیل این معلومات، [معلومات] دیگری در ماورای آنها حاصل نماید که بسیط ‌تر و اساسی‌تر و ذاتاً برای تقوم مقدمات علم ریاضیات مناسب‌تر باشد. سؤال عمده فلسفی در این باره این است که عدد چیست؟»؛ در صورتی که از نظر ریاضیدان من حیث هی چنین سؤالی ضرورتاً پیش نمی‌آید، به شرط آن که از خواص اعداد به قدری که برای استنتاج لازم است، اطلاع داشته باشد.

دیدگاه ابن سینا نمونه‌ای از دیدگاه واقع‌گرا در باب موضوع علم ریاضی بود. اما در دیدگاه‌های غیر واقع‌گرا موضوع علم ریاضی این گونه بررسی نمی‌شود. برای نمونه دیدگاه صورت‌گرا نمی‌تواند موضوعی برای علم ریاضی تعیین کند. از راسل که از پیشگامان صورت‌گرایی در ریاضی است؛ نقل شده است:

ریاضیات علمی است که در آن نه می‌دانیم از چه سخن می‌گوییم و نه می‌دانیم آنچه می‌گوییم راست است یا نه.⁹

هم چنین در نظر کانت که احکام ریاضیات را تألیفی پیشینی می‌داند، موضوع ریاضیات بخشی از ساختار ذهن است و تألیفی بودن احکام آن به این اعتبار است که از ساختار ذهن خبر می‌دهد.

در ریاضیات امروز هندسه کاملاً به جبر تحویل یافته است. این تحویل هم به جهت نگرش فلسفی است و هم دلایل ریاضی دارد. از حیث فلسفی، صورت‌گرایی مبنای چنین روندی قرار گرفته است؛ زیرا بر این مبنا واژه‌ها از معنا تهی‌اند و اگر دو نظام اصل موضوعی صورت یکسانی داشته باشند، در واقع یک نظام به شمار می‌آیند. از حیث ریاضی ورود دستگاه مختصات به هندسه راهگشای تحویل هندسه به جبر شد.¹⁰ اگر چه جبر همان حساب نیست؛ ولی شاخه‌ای از ریاضیات است که از حساب مشتق شده است. مشکل دیگر در تحدید موضوع ریاضی وارد شدن مباحثی از قبیل نظریه مجموعه‌ها¹¹، نظریه اعداد مختلط، ماتریسها،تانسورها، فضاهای چند بعدی و چندتایی‌های مرتب به مسایل ریاضی است که به سختی در موضوع کمّ و مقدار و عدد جای می‌گیرند. به هر حال، این موضوع نیازمند بررسی جدی است.