مفاهیم ریاضی

منشأ انتزاع مفاهیم ریاضی

اگر مفاهیم ریاضی، مفاهیمی معنادار هستند؛ در این صورت مسئله منشأ انتزاع آنها مطرح می‌شود. در این مسئله به آرای گوناگونی بر می‌خوریم که به دو دسته عین‌گرایانه و ذهن‌گرایانه تقسیم‌پذیر است. عین‌گرا منشأ انتزاع مفاهیم ریاضی را واقعیت عینی می‌داند؛ در حالی که از دیدگاه رقیب این منشأ ذهن است.

از مهمترین نظریه‌های ذهن‌گرایانه در این باره نظریه کانت Kant است که وحدت و کثرت، و نیز فضا و زمان را قالب‌های ذهن محسوب می‌کند که عین باید با آن منطبق شود.

هندسه که شعبه خاصی از ریاضیات است، به نحو پیشینی طرح و ترسیم می‌گردد. با این حال، خوب می‌دانیم که قضایای آن ضروری است؛ به این معنی که واقعیت تجربی باید همیشه با آنها منطبق باشد. عالِم هندسه خواص مکانی را به نحو پیشینی تعیین می‌کند و قضایای او همیشه در مورد مرتبه مکانی تجربی صادق است. اما او چگونه می‌تواند إخبار پیشینی ضرورتاً صادق بدهد که با رجوع به عالَم تجربی خارج دارای اعتبار باشد؟ فقط در صورتی می‌تواند این کار را بکند که مکانی که خواص آن را تعیین می‌نماید، صورت محض احساس بشری باشد که آن صورت، اعیان به ذهن ما عرضه می‌شوند و فقط به پدیدارها اطلاق می‌شود؛ نه به اشیای فی‌نفسه. هر گاه این نحوه تبیین را قبول کنیم به آسانی می‌فهمیم که کلیه متعلقات خارجی عالَم محسوس ضرورتاً و دقیقاً باید با قضایای هندسه مطابق باشد».¹

نظریه ذهن‌گرایانه مهم دیگر از آن راسل Russel است که به نوعی با تأثر از فرگه frege است. راسل می‌نویسد:

هیچ عددی حتی واحد (یک) بر اشیای مادی خارجی اطلاق نمی‌شود و اطلاق آن محدود به امور کلی یا وصفی است؛ مثل انسان»، قمر کره زمین»، قمر کره زهره». . اما به جای آن که عنوان و مفهوم کلی انسان» را موضوع قضایای عددی، یعنی قضایایی که محمول آنها عدد است، قرار دهیم؛ می‌توانیم بدون این که تغییر مهمی داده باشیم، طبقه یا مجموعه امور را موضوع قرار دهیم؛ یعنی در مثال به جای آن که بگوییم انسان»، بگوییم افراد انسانی»؛ و آن را طبقه‌ای بدانیم که عنوان کلی انسان بر آن اطلاق می‌گردد. در این صورت دو عنوان کلی انسان» و حیوان دو پای پوست صاف» بر مجموعه واحدی از اعیان اطلاق می‌شود و دارای همان مصادیق است.²

راسل سپس مجموعه‌های هم‌توان³ را مجموعه‌هایی تعریف می‌کند که نسبت یک به یک میان فرد فرد اجزای یک مجموعه و فرد فرد اجزای مجموعه دیگر برقرار باشد⁴؛ و بر این اساس عدد را چنین تعریف می‌کند:

عده اجزا یا افراد هر طبقه‌ای عبارت است از طبقه حاوی تمام طبقاتی که مشابه [هم‌توان] با طبقه مورد تعریف هستند. (داخل کروشه از من است)⁵.

تا اینجا راسل با فرگه هم‌سخن است. ولی در اینجا راسل بر آن می‌شود که طبقه تنها یک اعتبار است و واقعیتی به ازای آن نیست. آنگاه:

اگر این نظر را قبول کنیم که طبقات علایم» اشیا است؛ لازم می‌آید که اعداد هم اشیا و امور واقعی نباشند و قضایایی که در آن لفظ عدد به کار رفته، در حقیقت دارای مقوماتی نیست که به ازای عدد باشد و فقط دارای یک صورت منطقی است که خود آن صورت جزء قضیه حاوی صورت مزبور نیست.⁶

فیثاغورثیان به عینیت عدد قایل بودند و شیء و عدد را یکی می‌گرفتند و عدد را اصل و منشأ همه چیز می‌دانستند⁷. فرگه نیز در همان جا که راسل از او جدا می‌شود؛ نظریه‌ای افلاطونی می‌دهد. به نظر او طبقات در عالمی ماورای عالم ذهن و عالم ماده در عالمی وجود مجرد دارند.⁸

در آرای فلاسفه اسلامی در منشأ انتزاع عدد ـ پایه‌ای‌ترین مفهوم ریاضی ـ با دو نظر به ظاهر معارض روبرو می‌شویم. مفهوم کمّ در نظر این فلاسفه از مفاهیم ماهوی محسوب می‌شود و در این صورت منشأ انتزاع آن حد اشیا است. اما دو مفهوم وحدت و کثرت از مفاهیم فلسفی به حساب می‌آیند و منشأ انتزاع آنها حاق وجود اشیا است. بنا بر این، این فلاسفه در این مسئله عین‌گرایند. البته اگر به دوگانگی حساب و هندسه توجه کنیم؛ به راحتی این تعارض برطرف می‌شود؛ اگر چه فلاسفه اسلامی، حتی متأخران آنان نیز بعید به نظر می‌رسد از این دوگانگی آگاه بوده یا در صورت اطلاع اجمالی، در این رأی فلسفی به آن توجه کرده باشند. ریاضیات دو بخش اصلی دارد: حساب و هندسه. حساب علمی بی‌رقیب است و به هر حال در انطباق احکام آن نظیر 1=1+0 و 2=1+1 بر خارج نمی‌توان خدشه کرد. اما هندسه علمی است که رقیب دارد و در برابر هندسه اقلیدسی، هندسه‌های غیر اقلیدسی را می‌یابیم و نیز در برابر هندسه‌های سه بعدی با هندسه‌های چهار بعدی و بیشتر روبرو می‌شویم. این که کدام هندسه، هندسه عالم خارج است، در ریاضیات قابل حکم نیست و به تحقیق تجربی نیازمند است. به ویژه که ثابت شده است هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی لُباچفسکی از حیث سازگاری منطقی هم ارزند؛ به عبارت دیگر، اگر در اصول موضوعه هندسه اقلیدسی تناقضی نباشد، در اصول موضوعه هندسه لباچفسکی نیز تناقضی نیست؛ به تعبیر دیگر اصل پنجم اقلیدس از اصول دیگر مستقل است⁹. اثبات هم‌ارزی منطقی هندسه‌های سه بعدی و چهار بعدی یا بیشتر نیز چندان مشکل نیست. بنابر این می‌توان توجیه معرفت‌شناسانه مناسبی برای دوگانه فرض کردن مفاهیم ریاضی داشت. مفاهیم حساب از مفاهیم فلسفی بوده و نظیر مفهوم وجود»اند. اما محمولات دیگر ریاضی عارض بر وجود بما هو وجود نیستند؛ بلکه عارض بر وجود از آن حیث که خواص کمّی یافته است، هستند و بنابر این سنخ دیگری از مفاهیم‌اند. البته شاید این نکته در نهایت به اینجا برسد که علم حساب به فلسفه تحویل گردد.¹⁰

سنخ‌شناسی مفاهیم ریاضی

درباره سنخ مفاهیم ریاضی آرای بسیاری از فلاسفه دیده می‌شود و هر فیلسوفی به حسب مبانی خود در باره سنخ‌شناسی مفاهیم نظری در این باره داده است. برای مثال، از نظر دکارت وضوح و تمایز مفهوم مهم بود و او مفاهیم ریاضی را از این حیث واضح و متمایز می‌خواند.¹¹ در نظر کانت دو جفت ویژگی مفاهیم مهم بود: پیشینی یا پسینی بودن آنها و تألیفی یا تحلیلی بودن آنها. کانت، خود در نهایت نظر می‌دهد که مفاهیم ریاضی پیشینی تألیفی‌اند.¹²

جان لاک مفاهیم را به تصورات بسیط و مرکب، و تصورات مرکب را به حالات، جواهر، و نسبتها تقسیم می‌کند و بر آن است که حالات نیز دو گونه‌اند: حالات بسیط و حالات مرکب. از دید لاک عدد از حالات بسیط است¹³. وی هم چنین توان شیء در فرا آوردن تصور در ذهن را کیفیت می‌خواند و آن را به دو قسم کیفیت اولیه و ثانویه تقسیم می‌کند. کیفیات اولیه در خود اجسام وجود دارند؛ ولی کیفیات ثانویه در خود اجسام وجود ندارند، بلکه اجسام تنها توان فرآوری احساس آن را در ما دارند. از دید لاک محمولات ریاضی مانند عدد و شکل از نوع کیفیات اولیه‌اند.¹⁴ راسل و فرگه نیز تلاش دارند مفاهیم ریاضی را به مفاهیم منطقی تحویل نمایند؛ چنان که در بحث منشأ انتزاع مفاهیم ریاضی گذشت.

از دیدگاه فلاسفه اسلامی مفاهیم ریاضی، مفاهیم کلی و معقول‌اند. این فلاسفه مفاهیم کلی را به سه قسم تقسیم می‌کنند: ماهوی یا معقول اولی، فلسفی یا معقول ثانی فلسفی، و منطقی یا معقول ثانی منطقی. مفهوم وحدت و کثرت از دید آنان از سنخ مفاهیم فلسفی و مفهوم کمّ از سنخ مفهوم ماهوی است. البته برخی از فلاسفه معاصر نوصدرایی، مانند علامه مصباح یزدی، همه مفاهیم ریاضی را معقول ثانی فلسفی می‌دانند.¹⁵