منشأ انتزاع مفاهیم ریاضی

اگر مفاهیم ریاضی، مفاهیمی معنادار هستند؛ در این صورت مسئله منشأ انتزاع آنها مطرح می‌شوددر این مسئله به آرای گوناگونی بر می‌خوریم که به دو دسته عین‌گرایانه و ذهن‌گرایانه تقسیم‌پذیر استعین‌گرا منشأ انتزاع مفاهیم ریاضی را واقعیت عینی می‌داند؛ در حالی که از دیدگاه رقیب این منشأ ذهن است.

از مهمترین نظریه‌های ذهن‌گرایانه در این باره نظریه کانت Kant است که وحدت و کثرت، و نیز فضا و زمان را قالب‌های ذهن محسوب می‌کند که عین باید با آن منطبق شود.

هندسه که شعبه خاصی از ریاضیات است، به نحو پیشینی طرح و ترسیم میگرددبا این حال، خوب میدانیم که قضایای آن ضروری است؛ به این معنی که واقعیت تجربی باید همیشه با آنها منطبق باشدعالِم هندسه خواص مکانی را به نحو پیشینی تعیین میکند و قضایای او همیشه در مورد مرتبه مکانی تجربی صادق استاما او چگونه میتواند إخبار پیشینی ضرورتاً صادق بدهد که با رجوع به عالَم تجربی خارج دارای اعتبار باشد؟ فقط در صورتی میتواند این کار را بکند که مکانی که خواص آن را تعیین مینماید، صورت محض احساس بشری باشد که آن صورت، اعیان به ذهن ما عرضه میشوند و فقط به پدیدارها اطلاق میشود؛ نه به اشیای فینفسههر گاه این نحوه تبیین را قبول کنیم به آسانی میفهمیم که کلیه متعلقات خارجی عالَم محسوس ضرورتاً و دقیقاً باید با قضایای هندسه مطابق باشد».1

نظریه ذهن‌گرایانه مهم دیگر از آن راسل Russel است که به نوعی با تأثر از فرگه frege استراسل می‌نویسد:

هیچ عددی حتی واحد (یکبر اشیای مادی خارجی اطلاق نمیشود و اطلاق آن محدود به امور کلی یا وصفی است؛ مثل انسان»، قمر کره زمین»، قمر کره زهره». . اما به جای آن که عنوان و مفهوم کلی انسان» را موضوع قضایای عددی، یعنی قضایایی که محمول آنها عدد است، قرار دهیم؛ میتوانیم بدون این که تغییر مهمی داده باشیم، طبقه یا مجموعه امور را موضوع قرار دهیم؛ یعنی در مثال به جای آن که بگوییم انسان»، بگوییم افراد انسانی»؛ و آن را طبقهای بدانیم که عنوان کلی انسان بر آن اطلاق میگردددر این صورت دو عنوان کلی انسان» و حیوان دو پای پوست صاف» بر مجموعه واحدی از اعیان اطلاق میشود و دارای همان مصادیق است.2

راسل سپس مجموعههای همتوان3 را مجموعههایی تعریف میکند که نسبت یک به یک میان فرد فرد اجزای یک مجموعه و فرد فرد اجزای مجموعه دیگر برقرار باشد4؛ و بر این اساس عدد را چنین تعریف میکند:

عده اجزا یا افراد هر طبقهای عبارت است از طبقه حاوی تمام طبقاتی که مشابه [همتوانبا طبقه مورد تعریف هستند. (داخل کروشه از من است)5.

تا اینجا راسل با فرگه هم‌سخن استولی در اینجا راسل بر آن می‌شود که طبقه تنها یک اعتبار است و واقعیتی به ازای آن نیستآنگاه:

اگر این نظر را قبول کنیم که طبقات علایم» اشیا است؛ لازم میآید که اعداد هم اشیا و امور واقعی نباشند و قضایایی که در آن لفظ عدد به کار رفته، در حقیقت دارای مقوماتی نیست که به ازای عدد باشد و فقط دارای یک صورت منطقی است که خود آن صورت جزء قضیه حاوی صورت مزبور نیست.6

فیثاغورثیان به عینیت عدد قایل بودند و شیء و عدد را یکی میگرفتند و عدد را اصل و منشأ همه چیز میدانستند7فرگه نیز در همان جا که راسل از او جدا میشود؛ نظریهای افلاطونی میدهدبه نظر او طبقات در عالمی ماورای عالم ذهن و عالم ماده در عالمی وجود مجرد دارند.8

در آرای فلاسفه اسلامی در منشأ انتزاع عدد ـ پایهایترین مفهوم ریاضی ـ با دو نظر به ظاهر معارض روبرو میشویممفهوم کمّ در نظر این فلاسفه از مفاهیم ماهوی محسوب میشود و در این صورت منشأ انتزاع آن حد اشیا استاما دو مفهوم وحدت و کثرت از مفاهیم فلسفی به حساب میآیند و منشأ انتزاع آنها حاق وجود اشیا استبنا بر این، این فلاسفه در این مسئله عینگرایندالبته اگر به دوگانگی حساب و هندسه توجه کنیم؛ به راحتی این تعارض برطرف میشود؛ اگر چه فلاسفه اسلامی، حتی متأخران آنان نیز بعید به نظر میرسد از این دوگانگی آگاه بوده یا در صورت اطلاع اجمالی، در این رأی فلسفی به آن توجه کرده باشندریاضیات دو بخش اصلی داردحساب و هندسهحساب علمی بیرقیب است و به هر حال در انطباق احکام آن نظیر 1=1+0 و 2=1+1 بر خارج نمیتوان خدشه کرداما هندسه علمی است که رقیب دارد و در برابر هندسه اقلیدسی، هندسههای غیر اقلیدسی را مییابیم و نیز در برابر هندسههای سه بعدی با هندسههای چهار بعدی و بیشتر روبرو میشویماین که کدام هندسه، هندسه عالم خارج است، در ریاضیات قابل حکم نیست و به تحقیق تجربی نیازمند استبه ویژه که ثابت شده است هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی لُباچفسکی از حیث سازگاری منطقی هم ارزند؛ به عبارت دیگر، اگر در اصول موضوعه هندسه اقلیدسی تناقضی نباشد، در اصول موضوعه هندسه لباچفسکی نیز تناقضی نیست؛ به تعبیر دیگر اصل پنجم اقلیدس از اصول دیگر مستقل است9اثبات همارزی منطقی هندسههای سه بعدی و چهار بعدی یا بیشتر نیز چندان مشکل نیستبنابر این میتوان توجیه معرفتشناسانه مناسبی برای دوگانه فرض کردن مفاهیم ریاضی داشتمفاهیم حساب از مفاهیم فلسفی بوده و نظیر مفهوم وجود»انداما محمولات دیگر ریاضی عارض بر وجود بما هو وجود نیستند؛ بلکه عارض بر وجود از آن حیث که خواص کمّی یافته است، هستند و بنابر این سنخ دیگری از مفاهیماندالبته شاید این نکته در نهایت به اینجا برسد که علم حساب به فلسفه تحویل گردد.10

سنخ‌شناسی مفاهیم ریاضی

درباره سنخ مفاهیم ریاضی آرای بسیاری از فلاسفه دیده میشود و هر فیلسوفی به حسب مبانی خود در باره سنخشناسی مفاهیم نظری در این باره داده استبرای مثال، از نظر دکارت وضوح و تمایز مفهوم مهم بود و او مفاهیم ریاضی را از این حیث واضح و متمایز میخواند.11 در نظر کانت دو جفت ویژگی مفاهیم مهم بودپیشینی یا پسینی بودن آنها و تألیفی یا تحلیلی بودن آنهاکانت، خود در نهایت نظر میدهد که مفاهیم ریاضی پیشینی تألیفیاند.12

جان لاک مفاهیم را به تصورات بسیط و مرکب، و تصورات مرکب را به حالات، جواهر، و نسبتها تقسیم میکند و بر آن است که حالات نیز دو گونهاندحالات بسیط و حالات مرکباز دید لاک عدد از حالات بسیط است13وی هم چنین توان شیء در فرا آوردن تصور در ذهن را کیفیت میخواند و آن را به دو قسم کیفیت اولیه و ثانویه تقسیم میکندکیفیات اولیه در خود اجسام وجود دارند؛ ولی کیفیات ثانویه در خود اجسام وجود ندارند، بلکه اجسام تنها توان فرآوری احساس آن را در ما دارنداز دید لاک محمولات ریاضی مانند عدد و شکل از نوع کیفیات اولیهاند.14 راسل و فرگه نیز تلاش دارند مفاهیم ریاضی را به مفاهیم منطقی تحویل نمایند؛ چنان که در بحث منشأ انتزاع مفاهیم ریاضی گذشت.

از دیدگاه فلاسفه اسلامی مفاهیم ریاضی، مفاهیم کلی و معقولانداین فلاسفه مفاهیم کلی را به سه قسم تقسیم میکنندماهوی یا معقول اولی، فلسفی یا معقول ثانی فلسفی، و منطقی یا معقول ثانی منطقیمفهوم وحدت و کثرت از دید آنان از سنخ مفاهیم فلسفی و مفهوم کمّ از سنخ مفهوم ماهوی استالبته برخی از فلاسفه معاصر نوصدرایی، مانند علامه مصباح یزدی، همه مفاهیم ریاضی را معقول ثانی فلسفی میدانند.15

1فردریک کاپلستون، تاریخ فلسفه، ج6، ص258، اسماعیل سعادت و منوچهر بزرگمهر، انتشارات علمی و فرهنگی، 1375، چاپ دومبرای مطالعه بیشتر ن.کایمانوئل کانت، تمهیدات، ص132 ـ 117، غلامعلی حدّادعادل، مرکز نشر دانشگاهی، 1370، چاپ دوم.

2برتراند راسل، علم ما به عالم خارج، ص206 و 205، منوچهر بزرگهر،بنگاه ترجمه و نشر کتاب، 1359، چاپ دوم.

3مترجم در اینجا واژه متشابه را به کار برده است؛ ولی من واژه متداول در کتب منطق ریاضی را به جای آن گذاشتم.

4همان، ص208.

5مثلاً عدد مجموعهای است که اعضای آن همه مجموعههای دو عضویانددر ضمن توجه خواننده محترم را به غرابت این تعریف جلب میکنم.

6همان، 212.

7فردریک کاپلستون، تاریخ فلسفه، ج1، ص48 ـ43، سید جلالالدین مجتبوی، انتشارات علمی و فرهنگی، 1368، چاپ دوم.

8علم ما به عالم خارج، 205.

9هندسههای اقلیدسی و نااقلیدسی، ص230 ـ 0.

10ابن سینا، شیخ اشراق، و ملاصدرا به این نکته ملتفت شده و آن را مورد نقد و بررسی قرار دادهاند؛ ن.کشیخ‌الرئیس ابوعلی سینا، الشفاء ـ البرهان، ص23، مکتبة آیةالله المرعشی النجفی، 1404ق، بی‌چا.

11فردریک کاپلستون، تاریخ فلسفه، ج4، ص144، غلامرضا اعوانی، 1380، چاپ اول.

12تمهیدات، ص1.

13فردریک کاپلستون، تاریخ فلسفه، ج5، ص97، امیر جلالالدین اعلم، انتشارات علمی و فرهنگی، 1370، چاپ دوم.

14همان، ص103.

15محمد تقی مصباح یزدی، تعلیقة علی نهایة الحکمة، ص159، در راه حق، 1405ق، چاپ اول.




نقش دولت در تولید و توسعه‌ی دانش سیاسی

تعریف نظریه در علوم انسانی

موضوع علم ریاضی

مفاهیم ریاضی

مفاهیم ,ریاضی ,هندسه ,منشأ ,فلاسفه ,صورت ,مفاهیم ریاضی ,منشأ انتزاع ,مفاهیم فلسفی ,انتشارات علمی ,معقول ثانی ,منشأ انتزاع مفاهیم ,انتزاع مفاهیم ریاضی ,اصول موضوعه هندسه
مشخصات
آخرین جستجو ها